5. Axiomatická výstavba fyzikálních teorií

Z Vypracované otázky ke státnicím Fyzika PřF MU

Přejít na: navigace, hledání

Fyzikální realita se popisuje pomocí systému axiomů. Vymezí se oblast jevů, které spolu zjevně logicky souvisí a hledají se nejobecnější principy platné pro danou oblast děůj. Tyto principy se pak formulují jako axiomy, postuláty. Z těchto axiomů lze dedukcí nebo matematickými úpravami získat řadu dalších dílčích zákonů a důsledků.

Obsah

Fyzikální realita a její modely, formulace hypotéz a principů

Axiomy jsou základní tvrzení, které v rámci dané teorie nelze odvodit. Tyto axiomy se postulují a pomocí nich se formuluje teorie. Aby byla vymezená oblast fyziky dobře popsaná pomocí axiomů, musí pro systém axiomů platit:

  • vzájemnáý bezrozpornost
  • nezávislost
  • musí jich být úplný systém (při dodání dalšího nezávislého axiomu vznikne spor)

Formulace systému axiomů tvořících teorii začíná u tvorby hypotézy. Hypotéza je předpoklad, jehož platnost se poukouší vyvrátit a zároveň potvrdit. Hypotéza může vzniknout na základě zobecnění pozorování nebo experimentů. Pokud se hypotéza jeví smysluplně, hledá se vnitřně bezrozporná teorie, která se formuluje pomocí systému axiomů. Tento systém se vystavuje tak, aby zahrnoval experimentální či empirické poznatky a vysvětloval je na základě jednoduchých obecných principů.

Zpravidla je více možností jak vytvořit axiomatický základ určitého vědního oboru. Jednotlivé způsoby se mohou lišit charakterem, obecností i počtem postulátů. Například klasická mechanika může vycházet z Newtonových zákonů nebo z principu nejmenší akce a vlastností inerciální soustavy. Je zřejmé, že zatímco první přístup dovoluje přímočarou formulaci "běžných" problémů z oblasti mechaniky až po otázky pohybu nebeských těles, druhý je (v důsledku své obecnosti) způsobilý zkoumat problémy, ve kterých se uplatňují i elektrické, magnetické a relativistické jevy. Uvedený příklad zároveň ukazuje, že systém postulátů lze volit tak, aby při specifické aplikaci bylo umožněno použít příslušných zákonů přímo, bez dalších odvození.

Součástí teorie je vymezení její platnosti. Platnost teori lze vyvrátit a tím ji celou zneplatnit pomocí jediného reprodukovatelného a správného experimentu. Platnost teorie lze omezit tak, aby daný rozporný experiment ji již nepopíral. Každá fyzikální teorie je platná jen omezeně a je kdykoliv zpochybnitelná.

Fyzikální metody, které se využívají při tvorbě teorií:

Pozorování
Sledování události smyslovými orgány či experimentálním zařízením a formulování některých možných ideí
Experiment
Soubor jednání a pozorování, jehož účelem je ověřit nebo vyvrátit hypotézu.
Simulace
Napodobení děje soustavy nebo chování modelem.
Model
Vytváření modelů a zkoumání vlastností modelového objektu. Modelování spočívá v objasnění podstatných znaků a zanedbání nepodstatných, čímž se zjednoduší popis reality. Modely rozdělujeme na
  • reálný model
  • analogický model (např. mechanický model elektrického oscilátoru)
  • ideální (myšlenkový) model (např. zanedbání tření)
  • matematický model (např. zanedbání vyšších členů v Taylorově rozvoji)

Úloha matematického aparátu

Matematika je nástroj teoretického studia fyziky (bez matematiky není fyziky). Základní axiomy fyzikálních teorií se formulují pomocí rovnic a důsledky axiomů v rámci teorie se matematicky odvozují. Fyzikální veličiny se kvantifikují číselně. Vývoj dějů se popisuje rovnicemi.

Doplnit Příliš stručné - rozpracovat!
Tuto otázku je potřeba doplnit. Pomožte s jejím vypracováním!

Variační principy

Variační principy stanovují, že soustava se vyvíjí v čase za působení sil tak, že intergrál popisující skalární funkce (určený pro libovolně zvolený časový interval při pevně stanoveném stavu v krajních polohách) nabývá pro skutečnou dráhu extremální hodnoty. Variační princip porovnává virtuální dráhy a jako skutečnou (realizovanou) dráhu najde tu, která má nejmenší integrál popisující skalární funkce.

Před objevením variačního principu byly mechanické systémy popsány soustavou axiomů nazvaných Newtonovy rovnice:

  1. Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu nepůsobí-li na něj síly.
  2. Těleso se pohybuje se zrychlením účinkem působící síly LaTeX: \vec{F}=m\vec{a}.
  3. Působí-li jedno těleso na druhé, působí druhé těleso na první silou stejně velkou, opačně orientovanou.

V optice Pierre de Fermat postuloval princip, který můžeme popsat tak, že světlo se v prostoru šíří z jednoho bodu do druhého po takové dráze, aby čas potřebný k proběhnutí této dráhy nabýval minimální hodnoty. Pro jakoukoliv jinou cestu, než je tato extremální dráha, by nebyla variace optické dráhy nulová. Z tohoto uvedeného axiomu vyplývá jak zákon odrazu, tak i Snellův zákon lomu - optická dráha je minimální pro odraz od rovinného zrcadla nebo pro lom světelného paprsku při změně indexu lomu.

Základy obecného variační principu podal Louis Maupertuis, který došel k variačnímu principu na základě úvahy, že dokonalost přírody vyžaduje, aby se chovala úsporně a zbytečně nevydávala energii. Takže usoudil, že pohyb v přírodě musí být takový, aby v něm určitá veličina byla minimální. Variační princip byl dále zobecněn Eulerem, Lagrangem a Hamiltonem.

Variační princip v klasické mechanice

V klasické mechanice princip nejmenší akce (nazývané také jako Hamiltonův princip) je nejobecnějším principem, podle kterého se řídí pohyb mechanických systémů. Každý mechanický systém je popsán Lagrangeovu funkcí LaTeX: L

LaTeX: L\left (t,q_1, q_1,\cdots,q_n,\dot{q}_1,\dot{q}_2,\cdots,\dot{q}_n\right )=L(t,\vec{q},\dot{\vec{q}})

kde LaTeX: q je zobecněná souřadnice. Systém má LaTeX: n stupňů volnosti.

Princip nejmenší akce říká, že se mezi libovolnými dvěma krajními body v časech LaTeX: t_0 a LaTeX: t_1 a polohách LaTeX: \vec{q}_0 a LaTeX: \vec{q}_1 se realizují pouze ty trajektorie, pro které má integrál akce LaTeX: S(\vec{q}) minimum

LaTeX: S(\vec{q})=\int_{t_0}^{t_1}L(t,\vec{q},\dot{\vec{q}})dt

Jinými slovy platí extremálnost integrálu akce:

LaTeX: \delta \int_{t_0}^{t_1}L(t,\vec{q},\dot{\vec{q}})dt=0

Aby se dal variační princip použít k nalezení pohybových rovnic, je třeba nejprve zvolit sadu zobecněných souřadnic, což jsou souřadnice omezené vazbami v systému, které jsou schopny nezávisle úplně popsat systém. Poté je třeba správně najít Lagrangeovu funkci a vyřešit rovnici. Takto získáme Lagraneovu rovnici

LaTeX: \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=0

kde LaTeX: i=1,\cdots,n. Takže získáme n rovnic pro n stupňů volnosti.

Soustava Lagrangeových rovnic představuje pohybové rovnice systému v zobecněných souřadnicích. Řešení pohybových rovnic lze nalézt po zadání počátečních podmínek.

Pro řešení fyzikálního problémů je důležitá vhodná volba Lagrangovy funkce. Pro jednoduché systémy se zpravidla volí funkce ve tvaru rozdílu kinetické a potenciální energie LaTeX: L=T-V. Tento "Lagrangián" ale neplatí pro disipativní systémy (např. nelze uplatnit síly tření).

Soustava Lagrangových rovnic je soustava diferenciálních rovnic 2. řádu. Pro řešení by však bylo praktičtější mít soustavu diferenciálních rovnic 1. řádu. Proto se zavádí Hamiltonovy kanonické rovnice, které dávají do souvislosti zobecněné souřadnice LaTeX: q_i, zobecněné hybnosti (impulzu) LaTeX: p_i a zobecněnou energii LaTeX: H. Zobecněná hybnost je definována jako

LaTeX: p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}

a zobecněná energie, což je energie přepsaná do proměných LaTeX: t, q_i, p_i, je definována jako

LaTeX: H=p\dot{q}-L

Lze ukázat, že vždy nalézt takovou transformaci

LaTeX: t,\vec{q},\dot{\vec{q}}\rightarrow t,\vec{q},\vec{p}

aby energie byla funkcí zobecněných souřadnic a zobecněných hybností. Transformací pak dostáváme Hamiltonovy kanonické rovnice

LaTeX: \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \;\;\;\;\;\; \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}

Hamiltonovy rovnice jsou rovnice pro určení časového vývoje proměnných LaTeX: q_k(t) a LaTeX: p_k(t). Jsou diferenciálními rovnicemi 1. řádu, je jich ale dvojnásobné množství než Lagrangeových rovnic 2. řádu.

Variační princip v kvantové mechanice

Variační princip v kvantové mechanice se používá v případě, že je znám Hamiltonián, ale nelze spočítat Schrödingerovu rovnici. Používá se v kvantové mechanice a kvantové chemii k aproximativnímu nalezení vlnových funkcní základního stavu.

Lze ukázat, že hamiltonián každé normalizované vlnové funkce odpovídá vyšší energii, než je energie základního stavu.

LaTeX: \left \langle \psi \left | H \right |\psi  \right \rangle \geq E_0

Hamiltonián odpovídá vlastní energii LaTeX: E:

LaTeX: 
\begin{split}
H\psi &= E\psi \\
\psi^{*}H\psi &= E\psi^{*}\psi \\
\int \psi^{*}H\psi d\tau  &= E\int \psi^{*}\psi d\tau \\
E &= \frac{\int \psi^{*}H\psi d\tau}{\int \psi^{*}\psi d\tau}
\end{split}

Variační princip spočívá v hledání minima energie, tedy hledání vlnové funkce pro kterou platí LaTeX: \delta \int \psi^{*}H\psi d\tau = 0. Taková vlnová funkce odpovídá základního stavu studovaného systému s vlastní energií LaTeX: E=E_0.

Příklady (klasická a kvantová mechanika, teorie elektromagnetického pole)

Kvantová mechanika

Kvantová mechanika je vystavěna na následujících postulátech:

  • Stav kvantového systému je kompletně popsán funkcí LaTeX: \psi (\vec{r},t) a tato funkce se nazývá vlnová funkce. Má vlastnost, že LaTeX: \psi^{*}\psi d\tau je pravděpodobnost nalezní částice v objemovém elementu LaTeX: d\tau. Vlnová funkce musí být normalizovatelná kvůli pravděpodobnostnímu charakteru, musí být jednoznačná, spojitá, kvadraticky integrovatelná, konecná (i se svou první derivací).
  • Každé fyzikální veličině, která je pozorovatelná, je reprezentována hermiteovským operátorem LaTeX: \hat{A}. Všechny hodnoty, které mohou být naměřeny, jsou vlastními hodnotami LaTeX: \lambda tohoto operátoru: LaTeX: \hat{A}\psi_i = \lambda_i\psi_i. Tento postulát vystihuje centrální myšlenku kvantové mechaniky a to, že dynamické plroměnné byváají kvantovány (i když vlastní hodnoty mohou tvořit kontinuum v nevázaném stavu). Nejzákladnější veličiny a jejich operátory jsou v následující tabulce:
Veličina Operátor Výraz
LaTeX: x LaTeX: \hat{x} LaTeX: x
LaTeX: p_x LaTeX: \hat{p}_x LaTeX: -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}
LaTeX: t LaTeX: \hat{t} LaTeX: t
LaTeX: E LaTeX: \hat{E} LaTeX: i\hbar\frac{\partial}{\partial t}
  • Ačkoliv měření dynamické proměnné musí vždy dát vlastní hodnotu, stav systému může být lineární kombinací vlastních stavů: LaTeX: \Psi = \sum_{i}c_i\psi_i. Potom víme, že měření dynamické proměnné LaTeX: A dá jednu z hodnot LaTeX: \lambda_i, ale nelze zjistit kterou. Pravděpodobnost, že se naměří hodnota LaTeX: \lambda_i je pak druhá mocnina koeficientu LaTeX: \left |c_i  \right |^2.
  • Je-li systém popsaný normalizovanou vlnovou funkcí LaTeX: \lambda_i, pak je střední hodnota dynamické proměnné LaTeX: A LaTeX: \left \langle A \right \rangle = \int_{-\infty }^{\infty }\psi^{*}\hat{A}\psi d\tau .
  • Vlnová funkce se vyvíjí v souladu se Schrödingerovou funkcí LaTeX: \hat{H}\psi (\vec{r},t) = i\hbar\frac{\partial \psi }{\partial t}

Termodynamika

Termodynamica je postavena na následujících třech postulátech:

  • Vnitřní energie izolovaného systému je konstatní. Změna vnitřní energie uzavřeného systému odpovídá energii, která projde do systému skrz jeho hranice (teplo) nebo práci, kterou systém vykoná.
  • Entropie izolovaného systému roste v důsledku spontánních změn: LaTeX: \Delta S \geq 0
  • Entropie každého lementu v nejstabilnějším stavu při LaTeX: T=0 se položí rovna nule a pak má každá substance pozitivní entropii při nulové teplotě. Nulová entropie je dosažena jen pro perfektní krystalické substance.

Termodynamiku lze také postulovat pomocí principu apriorních pravděpodobností, který říká, že všechny mokžnosti rozdělení energie v izolovaném systému při rovnováze jsou stejně pravděpodobné. Důsledkem pak je, že termodynamický stav (makrostav), který je tvořen největším počtem mikrostavů je také nejpravděpodobnější. Počet mikrostavů při dané hodnotě energie (případně dalších proměnných) je LaTeX: \Gamma (E,V,...). Místo počítání mikrostavů lze počítat s funkcí entropie, která je LaTeX: S=k_B \ln \Gamma (E).

Osobní nástroje